Copyright: © 2003 ... Your company


about
О программе

О  программе [image] Эта задача общефизического практикума  разработана и создана на Физическом  факультете МГУ коллективом сотрудников кафедры Общей физики, в следующем составе:

Л.П.Авакянц

А.С.Пономарев

 П.Ю.Боков

 И.В.Митин

 А.М.Салецкий

 А.В.Червяков

© Ваши замечания и пожелания можносделать по e-mail: avakants@genphys.phys.msu.su


binom
Биномиальное распределение

Биномиальное  распределение

Как  показано в элементарных курсах статистической физики [см. например 1, 2]  целый ряд физических моделей приводит к биномиальному распределению, которое  описывает вероятность появления  n   событий при N  испытаниях, если известно, что вероятность появления  события при каком-то испытании есть р :

Среднее  значение и стандартное отклонение для биномиального распределения  имеют вид:                    где  q=(1-p).

Биномиальное распределение для N =4,  p=q =1/2


Content
&#1057;&#1090;&#1072;&#1090;&#1080;&#1089;&#1090;&#1080;&#1082;&#1072;

!B0B8AB8G5A:89  ?>4E>4"5>@8O

 0A?@545;5=85 25@>OB=>AB8

;>B=>ABL 25@>OB=>AB8

8=><80;L=>5  @0A?@545;5=85

 0A?@545;5=85  C0AA>=0

 0A?@545;5=85  0CAA0

!B0B8AB8:0 D>B>>BAG5B>2  $-#-:A?5@8<5=B

-:A?5@8<5=B0;L=0O  CAB0=>2:0

#?@06=5=85 1

#?@06=5=85 2

#?@06=5=85 3

#?@06=5=85 4>=B@>;L=K5  2>?@>AK8B5@0BC@0 ?@>3@0<<5


distribution
Распределение вероятности

Распределение вероятности

Рассмотрим в качестве примера  дискретной случайной величины ,  количество очков  n , которое выпадает при бросании  игральной кости. Ниже  представлен результат бросания десяти игральных костей (или  N =10 бросаний одной кости). Результаты опыта удобно представить в виде  графика - гистограммы . Для построения гистограммыобласть значений  случайной величины (ось X ) разбивают на одинаковые интервалы (бины ),  а по оси Y откладывают   Ni   - количество попаданий случайной  величины в  i-ый  интервал.  Представленная на рисунке комбинация кубиков является выборкой  - одной из  многих возможных реализаций опыта. Вычислим по данной выборке среднее количество  очков выпадающее на одном кубике (выборочное среднее )n   и среднеквадратичное отклонение от среднего (выборочное  стандартное отклонение ):

Рис.1.  Результаты        опыта в виде гистограммы

где

 Учитывая, что P(1)=1/10, P(2)=2/10, P(3)=1/10, P(4)=1/10, P(5)=3/10, P(6)=2/10 ,  получаем: n = 2.9, Г = 1.74. Величина P(ni)   показывает в скольких случаях из N  возможных  выпадает ni и при N '  будет равна P(n) -  вероятности  получить n . Таким образом при N '  выборочные значения стремятся к своим  предельным значениям, которые и будут соответственно вероятностью, средним  значением  и стандартным отклонением.

Пример:   для идеального кубика все грани равновероятны, поэтому для любой грани  вероятность равна 1/6.Именно к этому значению будет стремиться   P(ni)  приN ' .

     Рис.2. Нормированная гистограмма

Рис.3. Распределение вероятности P(n)

 На рис.2 показана нормированная  гистограмма, у которой по оси Y  отложены значенияP(ni) . При N '  эта  гистограмма показывает распределение вероятности,  которое характеризуется  функцией P(n)   (рис.3), определяющей вероятность появления значения n  дискретной случайной величины . С помощью этой функции можно найти вероятность появления значения n  в некотором интервале, например от n1  до n2 .  Эта вероятность равна сумме вероятностей P(n)  для всех значений n , лежащих в заданном  интервале

 Если интервал включает все возможные значения n , то эта вероятность равна единице, так как в  результате опыта обязательно появится одно из возможных значений n . Таким образом сумма P(n)  по всем значениям n  равна единице

 Это соотношение называется условием нормировки.


ex1
Упражнение 1

Упражнение 1

 В режиме Эксперимент \Параметры установите  t=1ms,  N=1000.  Получите гистограммы с шагом  s=1  и  s=2.  Зарисуйте полученные гистограммы. По полученным гистограммам и формулам (2), (3) [image] найдите [image], где [image] означает вероятность попадания количества отсчетов  n  в интервал от а  до  b .  Сравните полученные значения с соответствующими значениями для распределения  Пуассона.


ex2
Упражнение 2

 Упражнение 2

 Проверьте экспериментально одинаковы ли вероятности получить  n  отсчетов за 1  ms  и  2n  отсчетов за 2  ms  ? При экспериментах используйте значения  N=1000,  s=1.  Объясните полученный результат, предполагая, что наблюдается распределение  Пуассона.


ex3
Упражнение 3

Упражнение 3

 В режиме Эксперимент \Параметры  установите  N=1000,  s=1.  Получите гистограммы с временем выборки  t  = 1, 10, 20, 40, 80, 160  ms.  Измерьте [image] с помощью курсора, учитывая, что уже при  t  =10  ms  распределение Пуассона переходит в распределение Гаусса, для которого [image] совпадает с наивероятнейшим значением, а ширина кривой на  высоте 0.6 от пикового значения равна [image] (см. рис.  ). Постройте графики [image]. Сравните полученные значения с соответствующими значениями  для распределения Гаусса. На основании построенных графиков объясните поведение  абсолютных и относительных флуктуаций (среднеквадратичного отклонения от  среднего) случайной величины  n  при увеличении ее среднего значения.


ex4
Упражнение 4

Упражнение 4

В режиме Эксперимент  \Параметры установите  t=100, s=1.  Получите две серии гистограмм с N=10  и N=1000,  проводя по m    (m >3)   измерений для каждой серии. Найдите для каждой серии среднее значение среднего [image] [image] и  его стандартное отклонение [image]. Проверьте, выполняется ли соотношение [image] ?


experimencontent
Эксперимент

-:A?5@8<5=B

-:A?5@8<5=B0;L=0O  CAB0=>2:0

#?@06=5=85 1

#?@06=5=85 2

#?@06=5=85 3

#?@06=5=85 4


experiment
Экспериментальная установка

Экспериментальная  установка

При установке курсора на выбранный элемент появится Подсказка!

Блок-схема установки

Блок-схема  установки приведена на рисунке. Свет от источника попадает на фотоэлектронный умножитель ФЭУ ,  который работает в режиме счета фотонов .  Импульсы с выхода ФЭУ поступают на блок сопряжения  который  преобразует электрические сигналы,  в цифровой код, и передает его компьютору (РС). Среднее число фотоотсчетов можно изменять, изменяя время счета импульсов  t  программно или  изменяя световой поток на входе ФЭУ с помощью диафрагмы. Установка позволяет  снимать гистограммы P(n)  (режим Эксперимент), определять параметры полученных распределений  (режим Обработка) и проводить  сравнение теории и эксперимента с помощью встроенных электронных таблиц и  графиков (режим Анализ).

Главное окно      программы в режиме Эксперимент

Режим работы Эксперимент.

Этот режим позволяет снимать  гистограммы P(n)  при различных параметрах. Для того, чтобы снять  гистограмму надо нажать кнопку Эксперимент , затем Параметры , установить в открывшемся окне время накопления, число опытов N,   шаг гистограммы и нажать кнопку Пуск [image].  Программа автоматически выполнит N  опытов и на графике появится  гистограмма, которая может быть занесена в архив данных нажатием кнопкиДобавить в обработку [image].

 Главное окно      программы в режиме Обработка

Режим работы Обработка.

Сохраненные гистограммы можно  просмотреть в режиме Обработка . На информационную панель в  нижнем левом углу окна Обработка  выводятся координаты курсора (n, P(n ) ), что дает возможность найти  среднее значениеnи стандартное отклонение  Г . Найденные значения заносят в таблицу, которая появляется при  нажатии кнопки Таблица .

Главное окно      программы в режиме Анализ

Режим работы Анализ.

Этот режим позволяет построить графики Г 2(n ), Г (n ) и Г (n )/n   по  данным, занесенным в таблицу. Для анализа зависимости  Г 2(n ) используется метод наименьших квадратов (МНК).


FEU
&#1060;&#1086;&#1090;&#1086;&#1101;&#1083;&#1077;&#1082;&#1090;&#1088;&#1086;&#1085;&#1085;&#1099;&#1081; &#1091;&#1084;&#1085;&#1086;&#1078;&#1080;&#1090;&#1077;&#1083;&#1100;

$>B>M;5:B@>==K9 C<=>68B5;L ($-#)

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image], GB> ?>72>;O5B 87<5@OBL >G5=L <0;K5 A25B>2K5 ?>B>:8.!G5B D>B>=>2.

@8 87<5@5=88  <0;KE A25B>2KE ?>B>:>2, :>340 =0  D>B>:0B>4 $-# 2 548=8FC 2@5<5=8 ?>?040NB  >B45;L=K5 D>B>=K, >:07K205BAO 2K3>4=55 87<5@OBL =5 A8;C B>:0 2 0=>4=>9 F5?8 $-#,  0 AG8B0BL >B45;L=K5 8<?C;LAK B>:0, >1@07CNI85AO =0 2KE>45 $-# 2 @57C;LB0B5  ?>?040=8O D>B>=>2 =0 D>B>:0B>4.  !G8B0O G8A;> 8<?C;LA>2 (D>B>=>2),  <>6=>  >?@545;8BL A25B>2>9 ?>B>: 8 8=B5=A82=>ABL ?040NI53> =0 D>B>:0B>4  87;CG5=8O.  -B>B <5B>4 87<5@5=8O A25B>2KE ?>B>:>2 =07K205BAO AG5B>< D>B>=>2 .


control
Контрольные вопросы

>=B@>;L=K5  2>?@>AK

Формула для оценки, которую Вы,      вероятно, получите на допуске:

ОЦЕНКА = 2+N /3,

где  N  -     количество вопросов, на которые  Вы ответили      правильно. (Стандартное отклонение для величины ОЦЕНКА равно 1).

1. Подбросьте  три одинаковых монетки и постройте гистограмму, считая, что случайная величина  имеет значение 1 при выпадении "орла " и 0 при выпадении "решки".(Если не хватает стипендии,  подбросьте 1 монетку 3 раза.)

2. Вычислите выборочное среднее и выборочное стандартное отклонение по  гистограмме, полученной в предыдущем задании.

3. Проверьте условие нормировки по гистограмме, полученной в первом задании.

 4. Дайте определение вероятности, среднего и стандартного отклонения.  Совпадают ли они со значениями, полученными во втором задании?

5. Дайте определение функции плотности вероятности.

6. Как найти вероятность попадания дискретной (непрерывной) случайной  величины в интервал от a до b.

7. Как связаны стандартное отклонение и стандартное отклонение среднего?

8. Напишите формулы для  биномиального распределения, распределения  Пуассона и нормального распределения (Гаусса).

9. Напишите формулы для среднего и дисперсии для  биномиального распределения, распределения Пуассона и нормального распределения  (Гаусса).


gauss
Распределение Гаусса

 Распределение Гаусса

 При больших N ( N >>1) биномиальное распределение  [image] имеет острый максимумвблизи [image].  Для n   не слишком удаленных от  [image],  (N >>1, [image] )  можно использовать распределения Гаусса (нормальное распределение) :

 где [image] -  стандартное отклонение.

Гауссово распределение плотности вероятностиP(n) как функция n . Вероятность  того, что n принимает значения, лежащие между n-"n и n+"n   определяется площадью под кривой, ограниченной этим интервалом. Если "n  равно стандартному отклонению, то эта площадь  равна 0.683.


literature
Литература

8B5@0BC@0

  1. Ф.Рейф, Статистическая физика, Наука, 1972.

2. Д.Худсон  Статистика для физиков. М.:  Миp, 1967.

3. И.В.Митин, В.С.Русаков, Анализ и обработка  экспериментальных данных, М. НЭВЦ ФИПТ, 1998.

4. Дж.Сквайрс  Практическая физика. М.:  Мир, 1971.


plotnost
Новая страница 1

Плотность вероятности

 Рассмотрение вероятностных проблем в случае непрерывной  переменной и  легко свести к более простому случаю, когда переменная принимает дискретные значения и  является, таким образом,  счетной. Для этого всю область изменения переменной и  следует разбить на бесконечно малые и равные интервалы  величиной ґи  (бины). Каждый такой  интервал обозначается соответствующим индексом  i.   Значение и  в этом интервале обозначим через и i,   а вероятность того, что и  лежит в этом интервале, через Р i  или Р(и i).  Такая операция  дает нам возможность иметь дело со счетным числом значений переменной  ui ; каждое такое значение отвечает одному из интервалов  i  =1, 2, 3, ...

Рис.4. Разбиение непрерывной переменной на дискретные  интервалы ґи (бины).  Макроскопически  малый интервал  du  включает достаточно много бинов, но является настолько малым, что изменением  функции  Р(иi)   на этом интервале можно пренебречь.

 Вероятность  dP того, что переменная и  находится в интервале значений между  u  и и  +  du  будет равна сумме вероятностей Р(иi) для   всех и i  которые входят в этот интервал.  Е сли  du достаточно мало, то  изменением функции Р(иi)   на этом интервале можно пренебречь и считать, что все Р(и i)   равны и имеют значение, которое мы обозначим Р.   Тогда искомая вероятность  dP =  Рm,  где  m=du/ ґи   –    число бинов, входящих в рассматриваемый интервал.  Т.к. dP  пропорциональна величине  du,   то ее можно записать в виде  dP =  f(u)du,   где  f(u)   называется плотностью вероятности  и не зависит от  величины интервала  du.   Следует отметить, что в ероятность  того, что переменная и  находится в интервале значений между  u   и и  +  du   равна площади под кривой  f(u)   ограниченной интервалом  du :     dP=  f(u)du.   Это справедливо и для конечного интервала -   в ероятность  того, что переменная и  находится в интервале значений от  a до  b   равна площади под кривой  f(u)   ограниченной этим интервалом:  .

Очевидно, что соотношения между вероятностями, полученные в случае дискретных  переменных, остаются в силе и  для переменных, принимающих непрерывные  значения, еслисуммы, которые входят в эти формулы заменить на интегралы:

Дискретная случайная величина n

Непрерывная случайная величина u

Вероятность

dP= f(u)du

Условие нормировки

Среднее значение

Дисперсия

Среднеквадратичное отклонение (стандартное)

Среднее значение функции [image] от случайной переменной


puasson
Пуассон

Распределение Пуассона

Если N велико  (N >>1),  то определение [image] по формуле  оказывается затруднительным, т.к. необходимо вычислять факториалы больших чисел. Однако, в ряде случаев можно  использовать приближения, которые имеют более простой  вид [1, приложение П.1, П.2, стр.321-327].

В случае когда вероятность  р  достаточно мала р <<1, а числа n   , представляющие интерес, также малы n <<N,  т.е. при N >>1, [image],  для вычисления [image] можно использовать распределение Пуассона

Распределение Пуассона P(n)  как функция n  для n = » = 1/2  и 2.


StatFeu
Статистика фотоотсчетов ФЭУ

 Статистика фотоотсчетов ФЭУ

В этой работе мы будем  рассматривать появление импульсов на выходе фотоэлектронного умножителя   (ФЭУ), работающего в режиме счета фотонов  , как случайный  процесс, включающий большое число событий. Нас будет интересовать число  импульсов n на выходе ФЭУ за  некоторое время Д (время накопления). Предположим, что мы регистрируем в среднем  10 импульсов в секунду. Повторим процесс измерений N   раз. Всегда ли мы будем иметь 10 отсчетов и с какой вероятностью мы можем  получить другой результат?

Пусть в среднем  на фотокатод  попадает  n фотонов в единицу  времени. Покажем, что вероятность [image] того, что за время Дбудет зарегистрировано n  фотонов, определяется распределением Пуассона. Для этого разделим мысленно  временной интервал Д  на большое число малых dt.   Вследствие случайного характера процессов  фото-  и вторичной электронной  эмиссии вероятность появления импульса на выходе ФЭУ (фотоотсчета) в течение  любого из интервалов dt   не зависит от его появления в другие интервалы dt .  Интервал dt   возьмем настолько малым, что вероятность появления фотона за это время очень  мала. Например, учитывая что в среднем за 1/  n секунд на фотокатод падает  одна частица, возьмем  dt=0.001/   n . Таким образам в каждом интервале dt   производится независимое испытание на появление частицы, а число испытаний, N= Д/dt.  При этом среднее  значение n=   n Д<<N ,  а вероятность р H  n/N =0.001<<1.  Следовательно, применимо распределение Пуассона.

Следует  учитывать, однако, что ответ на вопрос какое распределение имеет место в  действительности может дать только эксперимент.


Statistic
Статистический подход

Статистический подход

Очень часто  результат одиночного опыта, произведенного с достаточно сложной системой, не  может быть предсказан с полной определенностью, т.к. зависит от ряда случайных  факторов и является случайной величиной . Несмотря  на это, мы можем сделать важные выводы о поведении системы производя большое  число идентичных опытов. В таком случае мы говорим о статистическом описании  системы и используем для такого описания методы теории вероятностей.  Статистическая теория позволяет предсказать не результат конкретного опыта, а  вероятность   появления каждого из возможных результатов опыта. Предсказанные вероятности  можно сравнить с вероятностями, измеренными на опыте с большим числом одинаковых  систем (ансамблем ). Если состояние системы не зависит от времени, то с  равным успехом можно многократно повторить один и тот же опыт над одной системой.  Статистический подход оказался чрезвычайно плодотворным в физике при  рассмотрении таких проблем как радиоактивный распад, падение космических лучей  на Землю, испускание электронов и фотонов, при квантовомеханическом описании  атомов и молекул.


theory
Теория

"5>@8O

Распределение вероятности

8=><80;L=>5  @0A?@545;5=85

 0A?@545;5=85  C0AA>=0

 0A?@545;5=85  0CAA0

!B0B8AB8:0 D>B>>BAG5B>2  $-#


index
Home

Эта страница использует рамки, однако ваш обозреватель их не поддерживает.