Идея эксперимента заключается в исследовании вращательного и колебательного движений твердого тела правильной формы относительно различных осей, проходящих через центр масс и определения на основе данных эксперимента главных моментов инерции. В процессе работы устанавливается связь между моментом инерции относительно произвольной фиксированной оси и компонентами тензора инерции.

     Рассмотрим твердое тело, закрепленное таким образом, что оно может вращаться вокруг некоторой неподвижной точки O. Тензор инерции будем рассматривать в системе координат, жестко связанной с телом. Существует связь между моментом импульса тела и угловой частотой (см. введение)

где

где _i - расстояние от i-го элемента тела до оси AA^' , а величина

является моментом инеции относительно закрепленной оси.

     Значение момента инерции J твердого тела относительно оси, имеющей произвольное направление, связано с компонентами тензора инерции соотношением (В.25).

     В дальнейшем будем использовать такую систему координат, оси которой совпадают с главными осями инерции. В этом случае тензор инерции будет иметь диагональный вид, а соотношение (В.25) запишется так:

     Экспериментальная установка смонтирована на основании, на котором установлены две стойки с направляющими для винтов, положение одного из которых может регулироваться. Экспериментальная установка показна на рис.17, а так же для упражнения 1 AVI (9.9M) и упражнения 2 AVI (4.1M). Эти винты вставляются в подшипники, которые закреплены в рамке специальной конструкции, в результате этого рамка может вращаться вокруг горизонтальной оси (на рис.17 это ось OO^'). Рамка состоит из двух планок, (одна из которых на рис.17-левая) соединена с цилиндром С, другая - со шкивом Q. Эти планки зафиксированы на определенном расстоянии двумя направляющими. На планке с цилиндром установлен конус K для крепления исследуемого тела. По направляющим перемещается подвижная планка. Эта планка может фиксироваться на направляющих с помощью цанговых зажимов (для этого необходимо повернуть винты на них). В центре подвижной планки имеется винт с конусным наконечником. Исследуемое тело фиксируется между конусом неподвижной левой и конусным винтом подвижной планок, для чего в исследуемых телах имеются специальные углубления.

     Закрепление исследуемых тел в рамке может осуществляться передвижением подвижной планки (при отжатых винтах цангового зажима) и вращением винта с коническим наконечником (этим вращением осуществляется более точная установка).

     Рамка с исследуемым телом может совершать как вращательное, так и колебательное движение. Вращение происходит при опускании груза P, висящего на нити, намотанной на шкив Q. Масса груза и радиус шкива указываются на установке.

     Установка снабжена системой автоматического отсчета времени, включающей в себя таймер и два фотоэлектронных датчика для определения времени перемещения груза. Расстояние между датчиками определяется по линейке, укрепленной на установке.

     Для определения периодов колебаний рамки с исследуемым грузом на цилиндре C устанавливается кольцо со стержнем, на котором закреплен дополнительный груз, устанавливаемый в различных положениях. Установка снабжена системой автоматического отсчета периода, включающей в себя таймер и фотоэлектронный датчик для определения периода колебаний.

     В работе определяются компоненты тензора инерции однородного металлического параллелепипеда (рис.18) и цилиндра (рис.19).

     Рассмотрим приращение тела правильной формы, закрепленного в рамке, вокруг некоторой оси под действием момента внешних сил. Момент внешних сил создается с помощью нити, намотанной на шкив, к концу которой подвешен груз массы m (рис.20) В качестве исследуемого тела используется параллелепипед.

     Пусть груз начал движение от отметки x₀, затем прошел отметку x₁ со скоростью v₁. и, через время t. после этого - отметку x₂. со скоростью v₂. На основании закона сохранения механической энергии можно записать:

     где mg=(x₁-x₂) - изменение потенциальной энергии груза, -изменение его кинетической энергии, - изменение кинетической энергии вращательного движения рамки с телом, M_mp - работа сил трения в оси рамки, m - масса груза, подвешенного на нити, J^'=J+J₀ - момент инерции тела (J) и рамки (J₀), w₁ , w₂ - угловые скорости вращения рамки для положений груза в точках x=x₁ и x=x₂ соответственно, g - ускорение свободного падения, M_mp - момент сил трения, - угол, на который повернулась рамка при прохождении груза между отметками x₁ и x₂ , r - радиус шкива.

     Учитывая, что v=wr, , , где a - ускорение груза, t - время прохождения грузом x₁ - x₂, расстояния получаем:

     Для момента инерции пустой рамки (без тела) имеем:

     Пользуясь этой формулой, можно определять моменты инерции тела относительно произвольных осей. Это можно сделать, в частности для главных центральных осей, совпадающих с выбранными осями координат (J_x , J_y , J_z, а также для осей, совпадающих с одной из диагоналей параллелепипеда, например AG (J_AG) или MN (J_MN) (см.рис.18), выразив их соответственно через времена опускания груза t_x , t_y , t_z , t_AG , t_MN.

     Момент сил трения, входящий в (5.9), можно оценить следующим образом. Если опустить груз на отметке x₀, то он после опускания до нижней точки x₃ поднимется затем до отметки x₄. Разность значений потенциальной энергии груза в точках x₄ и x₀ и будет равна работе сил трения. То есть

     Пусть размер параллелепипеда (см. рис. 18) по оси Ox равен a, по оси Oy - b, по оси Oz - c . Квадраты направляющих косинусов для его диагонали AG соответственно равны

     Подстановка уравнений (5.9) (для различных осей вращения) и (5.12) в формулу (5.5) для момента инерции относительно закрепленной оси дает

     Так как сумма квадратов направляющих косинусов равна единице, то получаем:

     Эта закономерность можно проверить экспериментально.

1. Для выполнения работы необходимо измерить радиус шкива r и размеры тела (ребра параллелепипеда) a, b, c. Величины a, b, c, r измеряют штангенциркулем не менее трех раз в различных сечениях тела, заносят их в табл. 5.1.

   Таблица 5.1

   №	a	<a> , S<a>	b	<b> , S<b>	c	<c> , S<c>	r	в<r> , S<r>
   1
   2
   3

2. Заносят в таблицу 5.2 значения x_o , x₁ , x₂ , x₃ . Взвешивают груз P и заносят в табл. 5.2 его массу.

3. Определяют время опускания груза P при пустой рамке t_o . Для этого нить, имеющую на конце груз, аккуратно виток к витку наматывают полностью на шкив. Освобождают груз. Измерение времени необходимо проводить не менее трех раз. Данные заносят в таблицу 5.2. Одновременно для каждого опыта в таблицу заносят значения x₄.

   Таблица 5.2

   Параметры исследуемой системы	N	t0	<t0> , St0	x4	<x4>
   x0 = x1 = x2 = x3 = m =	1
   	2
   	3
   	4
   	5

4. Закрепляют в рамке параллелепипед в разных положениях и измеряют времена t_x , t_y , t_z , t_AG , t_MN не менее трех раз. Результаты заносят в табл. 5.3.

   Таблица 5.3

   №	tx	<tx> , S<tx>	ty	<ty> , S<ty>	tz	<tz> , S<tz>	tAG	<tAG> , S<tAG>	tMN	<tMN> , S<tMN>
   1
   2
   3

1. Определяют среднее арифметические значения a, b, c, r и выборочные стандартные отклонения для этих величин. Данные заносят в табл. 5.1.

2. Находят средние арифметические значения и выборочные стандартные отклонения для t₀ и x₄. Данные заносят в табл. 5.2. По формуле (5.11) находят величину и погрешность ее определения.

3. Находят средние арифметические значения t_x , t_y , t_z , t_AG , t_MN и погрешности их определения. Результаты заносят в табл. 5.3.

4. По формуле (5.9) находят экспериментальные значения величин J_x , J_z , J_MN и их погрешности. Данные заносят в табл. 5.4.

5. В связи с тем, что ось MN лежит в плоскости xz, поэтому соотношение (5.5) для J_MN принимает вид . Подставляя в это выражение определенные в п.4 значения J_x , J_y вычисляют теоретическое значение и сравнивают его с экспериментальным (таб. 5.4).

   Таблица 5.4

   Jx	SJx	Jz	SJz	JMN	SJMN

6. Подставляя в (5.13) определенные экспериментально геометрические размеры a, b, c и времена опускания груза t_x , t_y , t_z , t_AG для различных способов крепления тела в рамке, убеждаются в правильности (в пределах погрешности измерений) соотношения (5.13), а следовательно, и уравнения (5.5).

     Рассмотрим малые колебания физического маятника, представляющего собой сложное тело, состоящее из рамки, закрепленного на стержне дополнительного груза и исследуемого тела, в качестве которого выбран параллелепипед (рис.18) или цилиндр (рис.19). Колебания происходят вокруг оси, проходящей через центр масс рамки и исследуемого тела. Действие моментов сил тяжести, приложенных к стержню и добавочному грузу, закрепленному на нем, приводит к возникновению колебаний всей системы. Основное уравнение вращательного движения в этом случае имеет вид

     Уравнение (5.14) является уравнением собственных свободных колебаний

     Для момента инерции исследуемого тела относительно фиксированной оси вращения получаем: J = J^' - J₀ , или

     В частности, для параллелепипеда можно определить J_x , J_y , J_z для осей, совпадающих с главными центральными осями (рис.18), а также момент инерции относительно оси, совпадающей с одной из диагоналей параллелепипеда - например AG, выразив J_x , J_y , J_z , J_AG в соответствии с (5.17) через периоды колебаний T_x , T_y , T_z , T_AG и период колебаний пустой рамки T₀.

     Выразим момент инерции тела относительно оси AG в соответствии с уравнением (5.9) через J_x , J_y , J_z:

или

Учитывая, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице, получаем

или

     Рассмотривая колебания цилиндра относительно осей Oy, Oz, MN, можно найти величины J_y , J_z , J_MN определяя, соответственно, периоды колебаний T_y , T_z , T_MN .

     Рассмотрим колебания цилиндра относительно оси MN (рис.19). Направляющие косинусы для этой оси равны

     Момент инерции цилиндра относительно оси MN , как и в предыдущем уравнении, можно выразить через компоненты тензора инерции J_y , J_z , записанного в главных осях (см.(5.5)):

     Отметим, что уравнение (5.14) было записано без учета сил трения в оси маятника. Это обстоятельство, однако, практически не сказывается на уравнении (5.17), так как силы трения слабо влияют на период колебаний физического маятника.

1. Для выполнения работы необходимо измерить массы и размеры тел: радиус R и длину d цилиндра, ребра параллелепипеда а также массу груза m, массу и длину стержня m₀ , l₀. Рекомендуется проводить измерения каждой величины не менее трех раз, а линейных величин в различных сечениях тела. Данные заносят в табл. 5.5.

   Таблица 5.5

   Исследуемое тело Параметр	Цилиндр			Параллепипед			m	m0	l0
   N	1	2	3	1	2	3
   R
   <R> , S<R>
   d
   <d> , S<d>
   a
   <a> , S<a>
   b
   <b> , S<b>
   c
   <c> , S<c>

2. Дополнительный груз закрепляют в крайнем нижнем положении. Параллелепипед закрепляют в рамке в разных положениях и измеряют время t_n, n=3-5 колебаний маятника. Для каждого положения тела проводят не менее трех измерений. Значения n и t_n заносят в таблицу 5.6.
   

   Характеристики колебательного движения параллелепипеда

   Таблица 5.6

   N

   nx

   tnx

   Tx

   nz

   tnz

   Tz

   ny

   tny

   Ty

   nAG

   tnAG

   TAG

3. Измеряют время t_n0 3-5 колебаний рамки без тела. Измерения проводят не менее 3-х раз. Данные заносят в таблицу 5.7.
   

   Характеристики колебательного движения цилиндра

   Таблица 5.7

   N

   n0

   tn0

   T0

   nz

   tnz

   Tz

   ny

   tny

   Ty

   nMN

   tnMN

   TMN

4. Закрепляют в рамке цилиндр, измеряют времена t_n для колебаний цилиндра относительно осей z, y, MN. Результаты заносят в таблицу 5.7.

1. Определяют средние арифметические значения и среднеквадратичные отклонения для размеров цилиндра и параллелепипеда и их погрешности. Результаты заносят в табл. 5.8.

   Таблица 5.8

   a , S a	b , S b	c , S c	R , S R	d , S d

2. Находят средние значения периодов колебаний параллелепипеда T_x , T_y , T_z , T_AG. Находят погрешности этих величин. Результаты заносят в табл. 5.9.

   Таблица 5.9

   <Tx> , S<Tx>	<Ty> , S<Ty>	<Tz> , S<Tz>	<TAG> , S<TAG>

3. Подставляют в (5.18) определенные экспериментально геометрические размеры и периоды колебаний маятника для различных способов крепления параллелепипеда в рамке. Находят ошибки определения величин, стоящих в правой и левой частях уравнения (5.18). Убеждаются в правильности равенства (5.18) в пределах ошибок измерений.

   Таблица 5.10

   <T0> , S<T0>	<Ty> , S<Ty>	<Tz> , S<Tz>	<TMN> , S<TMN>

4. Находят средние значения периодов колебаний цилиндра T_y , T_z , T_MN и пустой рамки T₀ и их погрешности. Результаты вносят в табл. 5.10. Определяют по формуле (5.17) значения моментов инерции J_y , J_z , J_MN. для цилиндра. Находят погрешности этих величин. Результаты заносят в табл. 5.11.

   Таблица 5.11

   Jx	SJx	Jy	SJy	JMN	SJMN	#####	#####

5. Подставляя в (5.20) определенные в п.4 значения J_y , J_z , находят теоретическое значение момента инерции J_MN , сравнивают его с экспериментальным (найденным в п.4).

1. Записать уравнение моментов и объяснить смысл входящих в него величин

2. Какова связь между моментом импульса и угловой скоростью? Что такое тензор инерции.

3. Записать компоненты тензора инерции для простейших систем - тонкая палочка, система материальных точек.

4. Что такое главные оси? Что такое центральные оси. Примеры.

5. Как направлены векторы угловой скорости и момента количества движения при вращении тела вокруг закрепленной оси
      1) если ось вращения совпадает с одной из главных осей.
      2) если ось вращения не совпадает ни с одной из главных осей.
   

6. Связь между компонентами тензора инерции и моментом инерции относительно фиксированной оси .

7. Что такое эллипсоид инерции? Как определить значение момента инерции тела относительно заданной оси.

1. Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Механика твердого тела. Лекции (Университетский курс общей физики). М.: Изд-во физического факультета МГУ, 1998.

2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том 1. Механика,3-е изд.: Наука.1989, § 53.