ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ПРОСТЕЙШИХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ МАШИНЫ АТВУДА

Цель работы

    
Изучение законов равноускоренного движения.


Идея эксперимента

     Изучение законов равноускоренного движения производится на основе анализа кинематических характеристик движения системы тел. Для проведения такого анализа используется машина Атвуда, с помощью которой можно получать различные, не слишком большие (по сравнению с ускорением свободного падения) ускорения.

Теория

     Экспериментальная установка, получившая название "машина Атвуда", представляет из себя вращающийся с максимально малым трением легкий блок, через который перекинута тонкая нить с грузами массой m1 и m2 (рис.1). На каждый груз действуют две силы - сила тяжести и сила натяжения нити, под действием этих сил грузы и начинают свое движение. Меняя массы грузов можно получать различные ускорения.
     При дальнейшем анализе мы предполагаем, что нить невесома и нерастяжима, сопротивление в оси блока отсутствует, масса блока равна нулю, сопротивление воздуха отсутствует.
     Выберем систему координат так, как показано на рис. 1. Уравнения движения каждого груза в этой системе координат имеют вид

m1 a1=m1 g-T1    (1)
 
m2 a2=m2 g-T2    (2)

     В связи с тем, что нить нерастяжима (x1+x2=l=const), ускорения обоих грузов равны по величине и противоположны по направлению, поэтому уравнение кинематической связи можно записать в виде
a1 = -a2 = a    (3)

     Из предположений, сделанных ранее, следует также, что натяжения нитей одинаковы, то есть
T1 = T2 = T    (4)

     Пусть , тогда, решая полученную систему уравнений, получаем значение ускорения
    (5)
и величину силы натяжения нити
    (6)

     Ускорение тел системы всегда меньше ускорения свободного падения и меняется при изменении соотношения между массами обоих грузов.
     Для выбранной системы тел можно учесть влияние массы блока и силы трения в его оси. Система уравнений в этом случае дополняется уравнением вращательного движения блока и уравнением кинематической связи между угловым ускорением блока и ускорением одного из грузов. Очевидно, что силы натяжения нитей слева и справа от блока будут отличаться. Окончательно система уравнений имеет вид
    (7)
 
    (8)
 
    (9)
 
    (10)
 
    (11)

     где J=m0R2 - момент инерции блока, m0 и R - его масса и радиус, -коэффициент, зависящий от распределения массы (от формы блока), - угловое ускорение блока, Mтр - момент сил трения в оси.
     Решая полученную систему уравнений получаем значение ускорения
    (12)

     Очевидно, что ненулевые значения силы трения в оси и массы блока уменьшают величину ускорения по сравнению с идеальным случаем.

Экспериментальная установка

     Машина Атвуда состоит из прикрепленной к основанию вертикальной стойки, на которую нанесена шкала (рис.2). На верхнем конце стойки имеется легкий блок, способный вращаться с малым трением. Через блок перекинута легкая нить, к концам которой прикреплены два одинаковых груза C и C' . На груз C' можно помещать добавочные грузы в виде тонких пластин (перегрузки), в результате этого система грузов начинает двигаться с некоторым ускорением. Меняя массу перегрузка, можно менять ускорение системы. После того, как груз C' с перегрузком проходит некоторое расстояние L1 , перегрузок снимается с помощью кронштейна G. После этого грузы начинают двигаться равномерно. На стойке укреплены два фотоэлектрических датчика, соединенные с таймером. При этом верхний фотодатчик соединен с кронштейном G. Фотодатчики могут крепиться на стойке в разных положениях. Система грузов удерживается в состоянии покоя специальной фрикционной муфтой, управляемой с помощью электромагнита.
     Для измерения времени равномерного движения и управления фрикционной муфтой установка снабжена электронным блоком, в состав которого входят таймер и система управления электромагнитом. При нажатии на клавишу "сброс" происходит обнуление табло таймера. В исходном состоянии система заторможена посредством фрикционной муфты. При нажатии на клавишу "пуск" происходит освобождение системы. Во время прохождения телом C' верхнего фотодатчика запускается таймер. Импульс от нижнего фотоэлектрического датчика останавливает работу таймера, результат высвечивается на табло. При этом снова замыкается цепь электромагнита и система затормаживается фрикционной муфтой.
     Перед выполнением эксперимента следует убедиться , что груз C' может свободно опускаться не касаясь кронштейна G и фотодатчиков. В противном случае при помощи винтов, крепящих кронштейн и фотодатчики, следует провести необходимые регулировки.

Проведение эксперимента
Упражнение 1.   Анализ закона движения и определение ускорения.

     Исходя из анализа движения системы тел, проведенного в теоретическом введении, можно предположить, что реальное движение тел на участке L1 будет равнопеременным. В этом случае закон движения, то есть зависимость координаты тела от времени, будет иметь вид где x1 - координата, от которой груз C' начинает свое движение. Учитывая, что при равнопеременном движении скорость меняется по закону v = a t получаем.
    (13)
где v1 - скорость груза в момент снятия перегрузка и включения таймера, x1 - координата верхнего фотодатчика. Если в системе отсутствуют силы трения, то с этой же скоростью тело C' будет проходить расстояние между фотодатчиками после снятия с него перегрузка, то есть
    (14)
где L2 = x2 - x1 - расстояние между двумя фотодатчиками (x2 - координата нижнего фотодатчика), t2 - время движения на этом участке пути.

Измерения

  1. Устанавливают груз C' в верхнем положении x0 и кладут на него один из перегрузков. Затем устанавливают верхний фотодатчик с закрепленным на нем кронштейном на отметке x1 так, чтобы расстояние между датчиками L2 составляло 15-20 см. В дальнейшем величина L2 не изменяется.

  2. Систему тел приводят в движение и определяют время пролета t 2 груза C' между фотодатчиками. Результаты измерений заносят в табл.1.

  3. Изменяют координаты начального положения x0 груза C' . Для нового значения L1 проводят измерения в соответствии с п.2.


Таблица 1
n L1 t2 v1 v12
1        
2        
3        
4        
5        

Обработка результатов

  1. Для каждого значения L1 определить значение скорости и квадрата скорости v12 . Результаты вычислений занести в табл.1.

  2. По результатам измерений строят зависимость v12(L1). Убеждаются, что эта зависимость близка к пропорциональной зависимости, то есть движение груза C' на участке x0 - x1 является равноускоренным и выполняется соотношение (13). С помощью метода наименьших квадратов определяют наклон прямой v12(L1). По наклону прямой находят значение ускорения a и погрешность его определения. Сравнивают полученное значение с найденным по формуле (5).

Упражнение 2. Проверка второго закона Ньютона


     Из уравнений движения (1), (2) при учете (3), (4) следует, что
    (15)
     В процессе выполнения упражнения проводится экспериментальное подтверждение этого соотношения, что свидетельствует о выполнимости второго закона Ньютона
     Для экспериментального определения ускорения a можно воспользоваться соотношениями (13) и (14), из них следует, что
    (16)

Измерения

  1. Установите верхний фотодатчик в среднем положении (по шкале, нанесенной на стойку). Нижний датчик установите так, чтобы расстояние L2 составляло 15-20 сантиметров.

  2. Поместите на груз C' один из перегрузков, имеющихся в вашем распоряжении.

  3. Определите 3-5 раз время t2 прохождения промежутка L2. Результаты измерений занесите в табл.2.

  4. Проведите аналогичные измерения, положив на груз C' два, а затем три перегрузка. Результаты измерений также внесите в табл. 2.


Таблица 2
m n t2 { t2 } St2 a Sa A SA B SB
m1 = 1                  
2  
3  
m2 = 1                  
2  
3  
m3 = 1                  
2  
3  

Обработка результатов

    

  1. По экспериментальным данным для каждой из трех величин перегрузков определяется среднее значение времени пролета t2 с использованием формулы

    где N - число измерений.

  2. Вычислить выборочное стандартное отклонение среднего арифметического значения t2

    Результаты вычислений внести в табл.2.

  3. Используя (16) для каждого m вычислить значение ускорения a

    и стандартное отклонение этой величины Sa

    Результаты вычислений внести в табл.2.

  4. Вычислите значения левой и правой (B = ai/(g - ai)) частей в соотношении (15) для каждого рассмотренного экспериментального случая. Определить погрешности этих величин. Занести в табл.2 найденные значения. Экспериментально определенные левая и правая части соотношения (15) для трех различных значений m должны быть равны с учетом погрешностей их определения. Таким образом проверяется справедливость второго закона Ньютона.



Упражнение 3.
Оценка влияния силы трения и массы блока на точность результатов. ( Выполняется по указанию преподавателя).
     Ненулевое значение массы блока и наличие силы трения в его оси приводят к систематическим погрешностям при выполнении 1-го и 2-го упражнений. Предположим, что значения Mтр и am0 в (12) невелики, тогда можно получить приближенное выражение для ускорения, разлагая в ряд (12) по малым параметрам и и пренебрегая членами второго порядка малости:
    (17)

     Первый членв разложении полностью совпадает с ускорением (5) для идеальной машины Атвуда, второй и третий также имеют размерность ускорения и определяют систематические погрешности, вносимые силой трения и массой блока
    (18)
 
    (19)

     В этом упражнении требуется на основе использования возможностей экспериментальной установки сделать следующее.

  1. Выработать алгоритмы экспериментального определения величин aтр и aбл. При решении этой задачи исходить из того, что в наличии имеются набор разновесов ( монет, мелких предметов), штангенциркуль и известна плотность материала, из которого сделан блок ([]Al =2,69 г/см3 ) .

  2. В соответствии с выбранными алгоритмами провести эксперимент и определить величину либо aтр, либо aбл (по указанию преподавателя) и убедиться в ее малости по сравнению с a.


Основные итоги работы

     На основании выполнения работы должно быть показано, что движение системы тел под действием постоянной силы является равноускоренным, показано выполнение 2-го закона Ньютона. Должны быть проанализированы систематические погрешности при проведении эксперимента( по указанию преподавателя).

Контрольные вопросы

  1. Что такое инерциальные и неинерциальные системы отсчета? Сформулировать 1-й закон Ньютона.

  2. Что такое масса, как ее измерить?

  3. Что такое сила, как ее измерить?

  4. Сформулировать 2-й закон Ньютона.

  5. Сформулировать 3-й закон Ньютона.

  6. Сформулировать условия, при которых получены основные соотношения задачи. Как эти условия влияют на вид решаемой системы уравнений.

Литература

  1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. т.1.Механика. 3-е изд. М.:Наука, 1989, Гл.II.